Celia R. M.
PROPUESTA DE EXAMEN DE GEOMETRIA.
1.
Define
plano, circulo, ángulo, clasificación excluyente y clasificación inclusiva.
(1 pto)
-
Plano
se le denomina a la porción del espacio determinada por dos rectas diferentes,
paralelas o secantes, donde situaremos dos ejes de coordenadas perpendiculares (X,
abscisas; Y, ordenadas).
-
Circulo:
porción del plano delimitada por una circunferencia, incluyendo también esta
línea.
-
Angulo
es cada una de las 4 regiones definidas por 2 rectas secantes, incluyendo las semirrectas
de origen común que las definen.
-
La
clasificación excluyente es aquella que presenta tantas clases de equivalencia
como denominaciones diferentes hay.
-
La
clasificación inclusiva es aquella que permite que en una misma clase pueda
haber elementos correspondientes a más de una denominación.
(Cada definición 0,2 pto)
2.
Explica
como trabajarías la capacidad “localización de puntos en el plano utilizando
coordenadas cartesianas. Puntos cardinales y referencia en mapas” en 3º de Primaria.
(1 pto)
Para trabajar esta
capacidad en 3º de primaria aprovecharemos el juego de “hundir la flota” para
hacerles ver que necesitamos 2 datos, uno
que se refiere a la dirección horizontal y el otro a la vertical, para
encontrar un punto en el plano.
Los datos son letras
mayúsculas en la parte de las abscisas y
números en la parte de las ordenadas.
Hay que tener en
cuenta que el conocimientos de coordenadas es intuitivo a partir del juego, por
tanto habrá que aproximar los niños a la
matematización, introduciendo las coordenadas cartesianas y considerando
únicamente el primer cuadrante del plano cartesiano , debido al hecho de que
los niños de 9-10 años solo conocer los números naturales.
Una vez vistas las
coordenadas y trabajadas a partir de un juego, realizaremos actividades en las
que haya que representar en el plano diferentes lugares de la realidad, con el
objetivo de que establezcan un sistema de coordenadas que les permita situar
sobre el mismo los puntos considerados.
3.
Resuelve
el problema siguiendo las fases de Polya.
Para
la fiesta de final de curso los alumnos de 6º han pensado en alquilar un
castillo hinchable, con la idea de que este ocupara la mayor parte del patio del colegio,
el cual mide 50 metros de largo y 40 metros de ancho, para que pudiesen entrar
la máxima cantidad de alumnos posibles. Al llegar a la tienda vieron 4 castillos hinchables
¿Cuál todos deberían elegir? (3 pto)
CASTILLO
A
Fase 1: comprender el problema
a)
Datos e incógnitas:
Datos: tenemos la altura de los dos triángulos de la base,
también las bases de estos triángulos, los lados del ancho que forman con el
largo un ángulo de 90º y el largo de la base del castillo.
Incógnita: calcular el área de la base del castillo hinchable.
b)
¿Es resoluble? Sí que es resoluble, se puede dividir la base en dos
triángulos y un rectángulo, como tenemos los datos para las fórmulas de las
áreas de cada uno de los polígonos podríamos sacar las áreas de cada uno de
ellos y sumarlas.
Fase 2: Elaborar un plan
Primero trazamos una recta paralela a la
línea que forma la largaría del
polígono, formando así un rectángulo.
Ya tenemos dividida la base en 2 triángulos
y un rectángulo
El rectángulo tiene de ancho 10metros y de
largo sumamos las distintas distancias que forman su largaría.
El primer
triangulo sabemos su altura que son 20m y sabemos cuánto mide su base
que son 10m la base que va desde el ángulo derecho al ángulo de 90º y otros 10m
desde el ángulo de 90º hasta el ángulo de la izquierda, si sumamos ambas bases
nos da la base total del triángulo grande. A partir de aquí, como para calcular
el área de un triángulo se necesita saber la altura del triángulo y la base del
mismo (formula es
)
El segundo triangulo sabemos la altura que
son 30 metros y sus bases so 5m desde el
ángulo derecho hasta el ángulo de 90º y otros 5m desde el ángulo de 90º hasta
el ángulo de la derecha, si sumamos ambas distancias nos da como resultado la
medida de la base del triángulo, del cual también tenemos la altura, por tanto
sacamos el área a través de la formula.
Finalmente sumamos las áreas de los dos
triángulos y del rectángulo, para conseguir el área total de la base del
castillo hinchable.
Fase
3: Ejecutar el plan.
Área del rectángulo coloreado de verde: se calcula
multiplicando su base por su altura A=
Área del triángulo coloreado de naranja, A=
Área del triángulo coloreado de violeta, A=
Área total de la base del
polígono A=
à At= 650
Fase 4: Examinar la solución/visión
retrospectiva.
a)
¿La solución es razonable? Sí, porque la solución es positiva y mayor
que el perímetro de la figura.
b)
Comprobar la solución.
Si formamos un rectángulo completo
Tendría un área: A= 30
40à A=
1200
Se
observa que el área del rectángulo es mayor al de la suma del polígono, por
tanto si restamos al área del rectángulo el área del polígono nos dará el área
de lo que sobra
Resta:
1200
650
= 550.
Se observa así que el área está bien calculada, pues al hacer el
rectángulo el área interna no ocupada es menor que la del polígono.
CASTILLO HINCHABLE B
Fase 1: comprender el problema
a)
Datos e incógnitas:
Datos: tenemos el radio de una circunferencia.
Incógnita: tenemos que calcular el área.
b) ¿Es
resoluble? Sí, porque a partir del radio podemos calcular el área de
una circunferencia, ya que la formula necesaria para ello es
Fase 2: Elaborar un plan.
Realizamos la operación que
indica la fórmula para sacar el área.
Fase 3: Ejecutar el plan.
A=
àA=498,76
Fase 4: Examinar la solución/visión
retrospectiva.
a)
¿La solución es razonable? Sí,
es razonable, porque la circunferencia tiene un radio bastante amplio, por
tanto es lógico que tenga una área amplia.
b)
Comprobar la solución.
Se realizaría un cuadrado con un área de
498,76
,
despues se construiría una circunferencia de radio 12,6 cm.
Se cogería la circunferencia y se
rellenaría de papeles con distintas formas, hasta que quedara toda recubierta
sin que se sobrepusiesen ninguno de los papeles que se utilizó para recubrir su
área. Estos papeles se trasladaran al cuadrado dibujado, se podrán en el
interior del mismo para rellenar el área.
Se observa así que caben los mismos papeles
en la circunferencia que en el cuadrado
cuando ambos tienen la misma área, por tanto está bien resuelto.
CASTILLO
C.
Fase
1: comprender el problema
a) Datos
e incógnitas:
Datos: tenemos la medida
de la base del polígono en segmentos que corresponden a las bases de los dos
posibles triángulos y de los dos rectángulos.
También tenemos la medida de la hipotenusa del triángulo de la izquierda
y el ancho del rectángulo de la derecha.
Incógnita: saber el área total del polígono.
b) ¿Es
resoluble?
Sí, es resoluble, porque se pude dividir el
polígono en otras figuras geométricas de las cuales, mediante una formula,
podemos sacar el área de cada uno de ellos.
Fase
2: Elaborar un plan.
Primero trazamos una recta paralela a la
base del polígono irregular, después bajamos una línea recta que ha
de formar un ángulo de 90º con la línea paralela de la base.
Trazamos una tercera y última línea,
teniendo en cuanta que ha de ser paralela a la línea anterior. Esta línea ha
de formar un ángulo de 90º con la de la paralela a la base.
Una vez trazadas todas estas líneas
tendremos que calcular la altura del triángulo equilátero de la izquierda, para
ello utilizaremos el teorema de Pitágoras.
Para calcular el área total del polígono:
calcularemos el área del triángulo equilátero de la izquierda a través de la
formula, después calcularemos el área del triángulo de la derecha aplicando la
formula, siguiendo con el cálculo del área del rectángulo comprendido entre
ambos triángulos.
La parte que nos queda es un rectángulo,
para ello sumaremos las bases de los triángulos y del rectángulo comprendido
entre ambos, así ya tendremos la largura del rectángulo y la anchura, por tanto
solo se necesitara aplicar la fórmula para sacar el área del mismo.
Finalmente, calcularemos el área total del
polígono irregular que forma la base del castillo hinchable. Para ello
sumaremos las áreas de las figuras geométricas en las que hemos descompuesto
dicho polígono.
Fase
3: Ejecutar el plan.
Calculamos la altura del rectángulo
naranja:
à
à 400=225+
à 400-225 =
à175=
à
= C à C =13,228
Calculamos el área del triángulo naranja: A=
Calculamos el área del triángulo gris: A=
Calculamos el área del rectángulo morado:
A= 20
13,228 àA= 264,56
Calculamos el área del rectángulo verde: A=
50
5à A= 250
Calculamos el área total de todo el
polígono: At=
264,56
250
à At= 646,84
SOLUCION:
646,84
Fase
4: Examinar la solución/visión retrospectiva.
a) ¿La
solución es razonable? Si, la suma total de todas las figuras
geométricas en las que ha sido descompuesto es mayor que cada una de las
mismas.
b) Comprobar
la solución.
-
Dibujamos
un triángulo de 20 cm de hipotenusa, 13,228cm de altura, y 15cm de base.
-
Dibujamos
un rectángulo de 20cm de lado y 13,228 cm de ancho.
-
Dibujamos
un triángulo de 5 cm de base, 13, 228cm
de altura y 13,60cm de hipotenusa
La hipotenusa la hemos sacado así:
à
à
à
àh=
àh=
-
Dibujamos
un rectángulo de 50 cm de largo y 5cm de ancho.
Una vez dibujados todos, los recortamos,
formamos otro poliedro y calculamos su área
Calculamos el área del triángulo naranja:
A=
Calculamos el área del triángulo gris: A=
Calculamos el área del rectángulo morado:
A= 20
13,228 àA= 264,56
Calculamos el área del rectángulo verde: A=
50
5à A= 250
Calculamos el área total de todo el
polígono: At=
264,56
250
à At= 646,84
Es
la misma área que la del poliedro anterior, por tanto está bien calculado.
CASTILLO
D
Fase
1: comprender el problema.
a) Datos
e incógnitas:
Datos: tenemos que todos
los lados son de 2 metros.
Incógnita: necesitamos saber el área y para calcular
se necesita la apotema del polígono.
b) ¿Es
resoluble?
Sí, es resoluble porque sabemos la medida
de todos los lados y la apotema es la altura de uno de los triángulos en los
que se divide el polígono.
Fase
2: Elaborar un plan.
Primero
calculamos el área del heptágono,
para ello dividimos el polígono en tantos triángulos como lados tiene, todos
ellos con vértice en el centro del heptágono. Estos triángulos son equiláteros, por tanto sabiendo solo la base
se puede calcular la altura.
Sacamos uno de los triángulos en los que lo
hemos dividido y calculamos la altura,
para ello dividimos el triángulo en dos,
mediante un eje de simetría, después dividimos la base por la mitad y como la
hipotenusa mide 2m, mediante el teorema de Pitágoras lo calculamos.
En segundo lugar, sacamos el perímetro del
heptágono, multiplicando el número de lados por 2m (lo que miden los lados)
Para el área cogemos la altura del triángulo
y la multiplicamos por el perímetro, lo
dividimos luego todo entre 2 y nos da el
área.
En el caso del octógono, como sus lados miden lo mismo solo habrá que sacar
el perímetro, porque la apotema lo hemos sacado antes. Se calcula el área multiplicando
la apotema por el perímetro y dividiéndolo todo entre 2.
En el caso del pentágono, como los lados
también miden el mismo que el octógono y el heptágono, por tanto solo
calcularemos el perímetro, lo multiplicaremos después por la apotema y lo
dividiremos entre 2, dando así el área.
Fase 3: Ejecutar el plan.
Sacamos la apotema del heptágono, para ello
sacamos la altura del triángulo naranja mediante el teorema de Pitágoras.
à
à
à
à
à
=C à C=1,73
Sacamos el perímetro del heptágono:
Ya tenemos la apotema y el perímetro ahora
el área:
à A= 12,11
Sacamos el perímetro del octógono:
Ya tenemos la apotema y el perímetro ahora
el área:
à A= 13,84
Sacamos el perímetro del pentágono:
Ya tenemos la apotema y el perímetro ahora
el área:
à A= 8,65
Área total, sumamos las áreas de todos los
polígonos, At= 12,11
13,84
8,65
à At= 34,6
Fase
4: Examinar la solución/visión retrospectiva.
a) ¿La
solución es razonable? Si, porque el área del pentágono es menor
que el del heptágono y este menor que el del octógono.
b) Comprobar
la solución.
Si doblemos el tamaño, tenemos que cada
lado mide 4m, el resultado debería ser el triple.
à
à
à
à
à
=C à C=3,46
Sacamos el perímetro del heptágono:
Ya tenemos la apotema y el perímetro ahora
el área:
à A= 48,44
Sacamos el perímetro del octógono:
Ya tenemos la apotema y el perímetro ahora
el área:
à A= 55,36
Sacamos el perímetro del pentágono:
Ya tenemos la apotema y el perímetro ahora
el área:
à A= 34,6
Área total, sumamos las áreas de todos los
polígonos, At=48,44
+55,36
à At=
138,4
Si ahora hacemos la comparación; 34,6
era el área total de la base del castillo,
entonces 3
34,6
=138,4
Conclusión, el problema está bien resuelto.
Patio.
Fase
1: comprender el problema
a) Datos
e incógnitas:
Datos: tenemos cuanto mide de ancho y cuanto mide de
largo
Incógnita: tenemos que saber cuál es el tamaño de su
área.
b) ¿Es
resoluble?
Si porque lo podemos calcular.
Fase
2: Elaborar un plan.
Multiplico 50m de largo por 40 y el resultado
será el área.
Fase
3: Ejecutar el plan.
A= 50X 40 à A= 2000
Fase
4: Examinar la solución/visión retrospectiva.
a) ¿La
solución es razonable? Sí, es mayor que su perímetro, el cual es
180m.
b) Comprobar
la solución.
Cogemos un papel cuadriculado, que cada
cuadrado mida 5mm y dibujamos un rectángulo de 50mm de largo y 40mm, entonces
sumamos las áreas de los cuadrados que hay dentro (25mm) y las multiplicamos por 80 (número de
cuadrados totales que hay), dándonos un área de 2000
Por
tanto el problema está bien resuelto.
COMPRA
DEL CASTILLO HINCHABLE.
Fase
1: comprender el problema
a) Datos
e incógnitas:
Datos: el área de todos los castillos y del patio.
Incógnita: saber cuál de todos los castillos ocupa la
mayor parte de la superficie del patio.
b) ¿Es
resoluble? Sí, porque tenemos el área de
todos los castillos y del gimnasio.
Fase
2: Elaborar un plan.
Comparamos
las medidas de todos los castillos y vemos si todos caben dentro del
patio y si es así, observaremos cual ocupa más área.
Fase
3: Ejecutar el plan
El castillo A tiene un área de 650
El patio
tiene un área de 2000
El castillo B tiene un área de 498,76
El castillo C tiene un área de 646,84
El castillo D tiene un área de 34,6
Todos ellos caben en el patio, pero el que más
área ocupa es el castillo A
Fase
4: Examinar la solución/visión retrospectiva.
a) ¿La
solución es razonable? Si, solo se han
comparado los distintos castillos hinchables y se ha visto que todos ellos
caben en el patio.
b) Comprobar
la solución.
En un vistazo se observa que la solución es la
correcta, no es necesario realizar ninguna operación.
1.
Teniendo
en cuenta la capacidad “identificar, describir y construir poliedros y cuerpos
redondos. Reconocer sus elementos básicos: aristas, vértices, bases, caras
laterales. Clasificarlos” en 3º ciclo de primaria, desarrolla un problema en el
cual se trabaje el volumen de los 4 poliedros que se trabajaran con más
insistencia en este ciclo ( no utilices las fases de Polya) (2 pto)
Los
4 poliedros que se trabajan con más insistencia en 3º ciclo de primaria son los
prismas, los cilindros, las pirámides y los conos.
En
clase hemos decidido hacer una estatua de cera para los que ganen el concurso
matemático. El problema ha surgido cuando la clase se ha separado en 2 grupos,
un grupo quiere hacer una estatua con una forma y el otro con otra forma, la
profesora ha dicho que solo ayudara al grupo que gaste menos cantidad de cera.
Para
hacer la estatua el grupo A ha cogido como moldes un prisma de 20cm de
altura que tiene una base
pentagonal de 6 cm de lado y una
pirámide de base pentagonal que mide otros 20cm de altura y 6cm de lado.
Por
otro lado, el grupo B ha cogido como moldes un cilindro de 2cm de radio en su
base y 6cm de altura; y un cono de 2cm de radio en su base y una altura de 6cm.
¿Quién
utilizara más litros de cera liquida para hacer la estatua?
à
à
à
à
à
= Cà C= 5,196
Area de la base del prisma=
à
A= 77,94
Área
del prisma= área de la base del prisma por la altura del prisma à A=
77,94
20cm à A=1558,8
Volumen
de la pirámide: como la pirámide tiene la misma altura y la misma base que el
prisma, el volumen de esta se calcula multiplicando por 1/3 el volumen del
prisma.
Vp= 1/3
1558,8
à Vp=519,6
El
grupo A gastara: 1558,8
519,6
à gastara 2078,4
de cera.
GRUPO
B
El
volumen del cilindro será calculado mediante la fórmula: Vc=
à Vc
=
à Vc=75,398
El
volumen del cono será el volumen del cilindro por 1/3, ya que el cilindro tiene
de radio en su base el mismo que tiene el cono, y la altura del cilindro es la
misma que la del cono.
Volumen
del cono: 1/3
75,398
à Vc= 25,1326
Gel
grupo B gastara: 75,398
25,1326
à gastara 100,5306
Conclusión,
la profesora ofrecerá ayuda al grupo B, ya que gastara menos cantidad de cera
en la construcción de la estatua.
1.
Explica
cómo se trabajara en 1º y 2º de Primaria la capacidad “adquirir nociones de
transformaciones geométricas: simetrías axiales, simetrías especulares, giros,
traslaciones, semejanzas. Identifícalas en el entorno familiar y en la
naturaleza. Componer y dibujar figuras simétricas”
( 1 pto)
En
educación infantil se ha trabajado la lateralidad, las direcciones vertical,
horizontal y oblicua de una manera muy intuitiva, con un gran componente de
juego, incidiendo en la simetría de su cuerpo, a partir del eje vertical.
En 1º
y 2º curso de primaria, hay que continuar con el estudio de la simetría y por
ello se continuara el trabajo del propio cuerpo por el hecho de que este es
simétrico.
Los
niños deben llegar a descubrir su eje de simetría y el de su cuerpo en un
espejo, para encontrarlo utilizaremos la lateralidad, derecha e izquierda.
Al
trabajar la simetría del entorno lo
aremos por descubrimiento, buscando diferentes objetos e imágenes que sean
simétricos, reconociendo en ellos la presencia de la susodicha simetría y
encontrar a partir de que plano o eje, respectivamente, son simétricos.
Se
puede trabajar la construcción de figuras simétricas utilizando materiales
didácticos que lo permitan.
Posteriormente,
habrá que dibujar figuras simétricas, primero se trabajara con figuras planas
sencillas, utilizando como ayuda una cuadricula que les permita encontrar los
puntos homólogos respecto al eje de simetría, el cual coincidirá con una de las
direcciones de las rectas de la cuadricula.
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